A felesleges probléma megoldása: Milyen gyorsan lett volna otthon az SM-vel az Apollo 13-nál?

Siegfried Marquardt makacs fickó. Számomra a troll megjegyzései a jóváhagyási oldalon vannak, de úgy tűnik, hogy másutt is sikerrel jár. Ebben az esetben bebizonyítja, hogy az Apollo 13 nem tudott visszatérni a földre a szervizmodullal. Ez inspirált arra, hogy megválaszoljam a mai kérdést - ha törölték volna, és milyen gyorsan jött volna vissza a földre.

Mint mindig, Marquard is tévesen számol, vagy egyszerűen téves feltételezéseket tesz. Például azon a ponton, ahol a föld és a hold gravitációja kiegyensúlyozott, a sebességnek 0-nak kell lennie. Ez rossz. A föld körüli pályán nincs sebessége 0. Ezt csak parabolákkal adják meg, és ott csak végtelen távolságban. Ez matematikailag könnyen bizonyítható az orbitális egyenlet segítségével (lásd alább). De elég egy kis ész. Ha a sebesség a 0-os pályán van, akkor a föld gravitációja miatt a test merőlegesre esik a föld közepére, ahelyett, hogy a föld körüli görbét írna le. A pálya legtávolabbi pontján a földre irányított komponens 0 lehet, de a rá merőleges nem.

Az első küldetések során Apollo szabad visszatérési pályákon repült, vagyis olyan pályákon, amelyek körbejárták a holdat, és ha nem gyulladt meg, visszatért a földre. Az Apollo 13 esetében nem találtam orbitális elemeket, de az Apollo 11 esetében a következőket találtam:

Perigee: 6600 km (a föld közepe)/229 km (a föld felszíne)
Apogee: 566 433 km (a föld közepe)/560 062 km (a föld felszíne).

Kissé eltérő 6371 km-es földsugarammal 10832 m/s sebességet kapok a 340 km-es magasságú tűz végén lévő pályára, jó egyezésben az 10834 m/s Apollo 11-től számított adatokkal.

A vonat sebességi képességének kiszámításának legegyszerűbb módja a Vis-Viva egyenlet:

v = négyzetgyök (GM * (2/r - 1/a)) [1]

a a pálya féltengelye, vagyis az apogee és a perigee átlagos értéke (a föld közepétől számítva)

r az aktuális távolság.

Ha feltételezzük az Apollo 13 felső pályáját és a robbanás során 321860 km távolságot is, akkor az 1019 m/s jelenlegi sebességet eredményez.

Az első lehetőség, amelyet vizsgálok, az azonnali útváltás a CSM meggyújtásával. Az új útvonalnak most már r-nek, azaz azonos távolságnak kell lennie, de a féltengelynek másnak kell lennie. Ideális esetben a perigee ekkor -6371 km. Ekkor áll a föld középpontjában. Ilyen pályán a legrövidebb, alig 2 napos ellipszis repülési ideje 2 óra. Nem sokkal kevesebb, mint a szokásos utazási idő 2 nap 5 óra.

Ugyanakkor szimuláltam, és a gyakorlatban nem lehet ilyen pályát szerezni. Az apogeustól való távolság majdnem felének feletti gyújtás nem teszi lehetővé olyan pálya elérését, amelyben az apogeia állandó marad. Vizsgálataim szerint, amikor a perigee lecsökken, az a gyújtás szintjére is csúszik, azaz 330 000 km-re. Azonban nem kell megkerülnie a holdat, és kevesebb, mint 3 nap alatt visszatérhet a földre, még egy kis sebességváltozás mellett is. Ehhez nem is kell nagy sebességváltozás

Most az izgalmas kérdésre - milyen gyorsan kellett volna otthon lennie az Apollo 13-nak. Most a sebességváltozás kiszámításához szükség van az SM tömegére, az üzemanyag töltésére és a fő motor sajátos impulzusára. A Wikipedia szerint 18 410 kg üzemanyaggal rendelkezik. A CSM + LM az Apollo 13 préskészlet után összesen 96 946 fontot nyomott, ami 43 974 kg-nak felel meg. Az SM 314 kézikönyv szerint az AJ! 0-137 motor fajlagos impulzusa s = 3079 m/s.

Ebből a következő sebességet lehet kiszámítani a Ziolkowski-egyenlet segítségével:

v = 3079 m/s * ln (43974/(43974-18410)) = 1670 m/s.

A Wikipédia 2800 m/s értéket közöl, de az információk egy normál holdmisszióra vonatkoznak, ahol az LM a küldetés felénél megszakad. Még mindig szerintem túl magas. Az Apollónak csak 2000 m/s-ra volt szüksége egy pályára és vissza. Mivel korábban volt néhány sebességkorrekció, például az útvonal beállítása, az LM kihúzása az adapterből, és még mindig rendelkeznie kell tartalékkal, feltételeztem, hogy a következő sebességváltozás 1500 m/s.

Egy szimuláció során a legrövidebb utat kapod 175-ig terjedő gyulladással a mozgás irányáig (vagyis szinte a repülés irányával szemben), és kapsz egy -5684 x 375 236 km-t, ahol majdnem 2 nap után 18 órán át ismét leszállsz.

Tehát az Apollo 13 sokkal gyorsabban eljuthat a Földre. A baleset valamivel + 56 óra alatt történt. Ha 2 órás felkészülési időt vesz igénybe, a legénység 124 óra után visszatér a földre. A valóságban a hold körül repültél, majd meggyújtottad a motort. Ez csaknem 143 órára csökkentette a teljes időt, körülbelül 60 órára, vagy két és fél nappal később. A szervizmodul túl kevéssé képes megváltoztatni a sebességet ahhoz, hogy a földről való elmozdulást "föld felé" fordítsa. Működik, de a sebesség ekkor alacsonyabb, mint korábban, aminek következtében lassan halad át az ellipszis alacsony apogéjával. A teljes megtakarított idő annak a ténynek köszönhető, hogy nem kerüli meg a holdat.

Most ott vannak a baleset utáni szervizmodul fotói, és véleményem szerint a NASA jól tette, hogy nem gyújtotta be a motort. De mi más lett volna lehetséges az alkalmazott taktikán kívül?

Most azonnal meggyújthatta a süllyedés szakaszának LM motorját a baleset után
és lőhette volna az ereszkedő szakasz LM-motorját, ledobhatta, majd lőhette az emelkedőfokozatot.

Ehhez szükségünk van a Hold modul tömegére. Az Apollo 13 sajtókészlet a következőket mutatja:

Száraz leszármazás: 2 109 kg

Leszálló szakasz üzemanyaga: 8 319 kg

Száraz emelkedés: 2,118 kg

Emelkedő szintű üzemanyag: 2371 kg

Ezen kívül lenne RCS üzemanyag, mert itt nem nézem. A Wikipedia megadja az emelkedő motor sajátos lendületét 311 s (3050 m/s) értékkel, és ugyanezt az értéket az ereszkedési rendszer esetében.

A Ziolkowski-egyenlet felhasználásával egy fajta impulzus = 3050 kg, kezdőtömeg 43,974 kg, végsúly 35 655 kg 639 m/s sebességkülönbséghez vezet, és ha ezután ledobja az ereszkedési fokozatot (-2109 kg) és meggyújtja az emelkedési fokozatot, az egyik a másodikhoz érkezik Sebesség kezdő tömeggel 33 546 kg, végső tömeg 31 175 kg második sebességváltozással 223 m/s.

Egy szimuláció a következő eredményeket adja:

+639 m/s: (csak süllyedési szint): vektor 178 fokos helyzetbe, pálya: -5,017 x 346,907 km, visszatérés 5 nap 12 óra alatt

+862 m/s (ereszkedési szakasz + emelkedési szakasz): vektor 180 fokkal a pálya helyzetéig -5 914 x 331 935 km, visszatérés 4 nap 9 óra alatt

Mindkét esetben a sebességi képesség alacsonyabb, mint az aktuális sebesség. Tehát nem elegendő elérni egy áthidalót, mint a szolgáltató modul. Ezért még mindig átmész az apogéjén, amely azonban nagyobb sebességváltozás mellett erősebben csökken. A visszatérés 190 vagy 163 óra után lehetséges. Ez hosszabb lenne, mint a Hold megkerülésének választott stratégiája, ami ezt megerősíti. Miért jobb ez? Apró hatás, hogy a hold gravitációs mezőjét használja. De két másik hatás jelentősebb. Az első az, hogy maga a hold megváltoztatja pályáját. Ez lecsökkenti az apogeust a holdi távolságra, és jelentősen csökkenti a perigémet is. De sokkal fontosabb, hogy a sebesség iránya most a föld felé mutasson. Korábban körülbelül 1000 m/s sebességet kellett csökkentenie ahhoz, hogy a föld felé mozoghasson, most ez magától történik. Ha meggyújtja a motort, akkor egy hiperbolikus pályán van, sokkal rövidebb utazási idővel.